利用链式法则，反向模式微分方法就能避免冗余对所有路径只求一次导数，加快了运行速度！BP算法把网络权值纠错的运算量,从原来的与神经元数目的平方成正比，下降到只和神经元数目本身成正比。其功劳，正是得益于这个反向模式微分方法节省的计算冗余。误差反向传播误差反向传播通过梯度下降算法，迭代处理训练集中的样例，一次处理一个样例。对于样例d，如果它的预期输出和实际输出有“误差”，BP算法抓住这个误差信号Ld，以“梯度递减”的模式修改权值。也就是说，对于每个训练样例d，权值wji的校正幅度为Δwji（需要说明的是，wji和wij其实都是同一个权值，wji表示的是神经元j的第i个输入相关的权值，这里之所以把下标“j”置于“i”之前，表示这是一个反向更新过程而已）：在这里，Ld表示的是训练集中样例d的误差，分解到输出层的所有输出向量，Ld可表示为：其中：yj表示的是第j个神经单元的预期输出值。y'j表示的j个神经单元的实际输出值。outputs的范围是网络较后一层的神经元集和。深度人工智能学院深度学习课程。山东人工智能培训好的
为了避免这种海量求导模式，数学家们另辟蹊径，提出了一种称之为“反向模式微分（reverse-modedifferentiation）”。取代之前的简易的表达方式，我们用下面的公式的表达方式来求X对Z的偏导：前向模式微分方法，其实就是我们在高数课堂上学习的求导方式。在这种求导模式中，强调的是某一个输入（比如X）对某一个节点（如神经元）的影响。因此，在求导过程中，偏导数的分子部分，总是根据不同的节点总是不断变化，而分母则锁定为偏导变量“∂X”，保持定不变。反向模式微分方法则有很大不同。首先在求导方向上，它是从输出端（output）到输入端进行逐层求导。其次，在求导方法上，它不再是对每一条“路径”加权相乘然后求和，而是针对节点采纳“合并同类路径”和“分阶段求解”的策略。先求Y节点对Z节点的”总影响”（反向层），然后，再求节点X对节点Z的总影响（反向第二层）。特别需要注意的是，∂Z/∂Y已经在首层求导得到。在第二层需要求得∂Y/∂X，然后二者相乘即可得到所求。这样一来，就减轻了第二层的求导负担。在求导形式上，偏导数的分子部分（节点）不变，而分母部分总是随着节点不同而变化。江苏人工智能培训方法深度人工智能学院数学理解基础。
还有一个就是试图编写一个通用模型，然后通过数据训练，不断改善模型中的参数，直到输出的结果符合预期，这个就是连接主义。连接主义认为，人的思维就是某些神经元的组合。因此，可以在网络层次上模拟人的认知功能，用人脑的并行处理模式，来表征认知过程。这种受神经科学的启发的网络，被称之人工神经网络（ArtificialNeuralNetwork，简称ANN）。这个网络的升级版，就是目前非常流行的深度学习。机器学习在本质就是寻找一个好用的函数。而人工神经网络“牛逼”的地方在于，它可以在理论上证明：只需一个包含足够多神经元的隐藏层，多层前馈网络能以任意进度逼近任意复杂度的连续函数。这个定理也被称之为通用近似定理（UniversalApproximationTheorem）。这里的“Universal”，也有人将其翻译成“通用的”，由此可见，这个定理的能量有多大。换句话说，神经网络可在理论上解决任何问题。M-P神经元模型是什么？现在所讲的神经网络包括深度学习，都在某种程度上，都是在模拟大脑神经元的工作机理，它就是上世纪40年代提出但一直沿用至今的“M-P神经元模型”。
鉴于明斯基的江湖地位（1969年刚刚获得大名鼎鼎的图灵奖），他老人家一发话不要紧，直接就把人工智能的研究，送进一个长达近二十年的低潮，史称“人工智能冬天（AIWinter）”。复杂网络解决“异或”问题感知机之所以当初无法解决“非线性可分”问题，是因为相比于深度学习这个复杂网络，感知机太过于简单”。想解决“异或”问题，就需要使用多层网络。这是因为，多层网络可以学习更高层语义的特征，其特征表达能力更强。因此，我们在输入层和输出层之间，添加一层神经元，将其称之为隐含层（“隐层”）。于是隐层和输出层中的神经元都有激励函数。1958年FrankRosenblatt提出感知机的概念。1965年AlexeyGrigorevichIvakhnenko提出了多层人工神经网络的设想。而这种基于多层神经网络的机器学习模型，后来被人们称为“深度学习”。多层前馈神经网络常见的多层神经网络如图所示。在这种结构中，每一层神经元只与下一层的神经元全连接。而在同一层，神经元彼此不连接，而且跨层的神经元，彼此间也不相连。这种被简化的神经网络结构，被称之为“多层前馈神经网络（multi-layerfeedforwardneuralnetworks）”。在多层前馈神经网络中，输入层神经元主要用于接收外加的输入信息。深度人工智能学院深度强化学习课程。
梯度较明显的应用，就是快速找到多维变量函数的极(大/小)值。“梯度递减”的问题所在，那就是它很容易收敛到局部较小值。重温神经网络的损失函数相比于神经网络输入、输出层设计的简单直观，它的隐含层设计，可就没有那么简单了。依赖于“工匠”的打磨，它就是一个体力活，需要不断地“试错”。但通过不断地“折腾”，研究人员掌握了一些针对隐层的启发式设计规则（如下文即将提到的BP算法），以此降低训练网络所花的开销，并尽量提升网络的性能。为了达到理想状态，我们希望快速配置好网络参数，从而让这个损失函数达到极小值。这时，神经网络的性能也就接近较优！BP神经网络BP算法，是一个典型的双向算法。更确切来说，它的工作流程是分两大步走：（1）正向传播输入信号，输出分类信息（对于有监督学习而言，基本上都可归属于分类算法）；（2）反向传播误差信息，调整全网权值（通过微调网络参数，让下一轮的输出更加准确）。类似于感知机，每一个神经元的功能都可细分两大部分：（1）汇集各路链接带来的加权信息；（2）加权信息在激励函数的“加工”下，神经元给出相应的输出到首轮信号前向传播的输出值计算出来后，实际输出向量与预期输出的向量之间的误差就可计算出来。深度人工智能学院自动驾驶技术。湖南人工智能培训就业
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下面我们就用“误差”信息反向传播，来逐层调整网络参数。为了提高权值更新效率，这里就要用到下文即将提到的“反向模式微分法则（chainrule）”。求导中的链式法则一般化的神经网络示意图：为了简化理解，暂时假设神经元没有激励函数（或称激励函数为y=xy=x），于是对于隐含层神经元，它的输出可分别表示为：然后，对于输出层神经元有：于是，损失函数L可表示为公式：这里Y为预期输出值向量(由y1,y2,...,yi,...等元素构成)，实际输出向量为fi(w11,w12,...,wij,...,wmn)。对于有监督学习而言，在特定训练集下，输入元素xi和预期输出yi都可视为常量。由此可以看到，损失函数L，在本质上，就是一个单纯与权值wij相关的函数（即使把原本的激励函数作用加上去，除了使得损失函数的形式表现得更加复杂外，并不影响这个结论）。于是，损失函数L梯度向量可表示为公式：其中，这里的eij是正交单位向量。为了求出这个梯度，需要求出损失函数L对每一个权值wij的偏导数。链式求导示例图：当网络结构简单时，即使X到Z的每一个路径都使用前向模式微分（forward-modedifferentiation）”，也不会有很多路径，但一旦网络结构的复杂度上去了，这种“前向模式微分”。山东人工智能培训好的
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